Lịch sử toán học

Từ tiếng Anh mathematics (toán học) bắt nguồn từ μάθημα (máthema) có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể của tri thức - ngành nghiên cứu suy luận về lượng, cấu trúc, và sự thay đổi. Lĩnh vực của ngành học về Lịch sử Toán học phần lớn là sự nghiên cứu nguồn gốc của những khám phá mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu các phương pháp và kí hiệu toán học chuẩn trong quá khứ.
Trước thời kì hiện đại và sự phổ biến rộng rãi tri thức trên toàn thế giới, các ví dụ trên văn bản của các phát triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền cụ thể. Các văn bản toán học cổ nhất từ Lưỡng Hà cổ đại (Mesopotamia) khoảng 1900 TCN (Plimpton 322), Ai Cập cổ đại khoảng 1800 TCN (Rhind Mathematical Papyrus), Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng 1300-1200 TCN (Berlin 6619) và Ấn Độ cổ đại khoảng 800 TCN (Shulba Sutras). Tất cả các văn tự này có nhắc đến Định lý Pythagore; đây có lẽ là phát triển toán học rộng nhất và cổ nhất sau số học cổ đại và hình học.
Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại với toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và chất liệu chủ đề của toán học.
Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ và trung đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là sự ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng tại Ý vào thế kỉ 16, các phát triển toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới, đã được thực hiện với tốc độ ngày càng tăng, và điều này còn tiếp điễn cho tới hiện tại. 

Lịch sử Toán học – Phần 1

Trong quyển “Mathematics, the art of reason” của Birlinghoff có phần phụ lục về Lịch sử toán học viết cô đọng nhưng khá đầy đủ, phát hoạ bức tranh khá rõ nét và màu sắc về lịch sử phát triên toán học trên thế giới, xin giới thiệu với các bạn phần 1.

1. Từ đầu cho đến thế kỉ 600 trước CN

Ở một nơi nào đó vào thời tiền sử, có lẽ trong thời đại Đá giữa (Middle Stone Age), từ muôn vàn các hiện tượng khác biệt trong thế giới vật lí người ta bắt đầu thấy lộ ra hai ý niệm tổng quát, ý niệm về số lượng (quantity) và hình dạng (form). Hai ý niệm song sinh này là thuỷ tổ của hai dòng tư tưởng lớn mà mối quan hệ thật sự của chúng vẫn chưa được sáng tỏ cho tới thế kỉ thứ 17 CN. Mặc dầu mọi nhận định về thời kì này chủ yếu dựa trên phỏng đoán nhưng người ta thường tin rằng các ý niệm về số lượng bắt đầu từ những cố gắng so sánh những nhóm vật thể bằng cách đếm, và dần dần tiến triển thành mốt số các hệ đếm nguyên sơ. Hệ đếm có sớm nhất trong các hệ đếm này khá đơn giản, thường dựa trên ý tưởng về 2 hay 3 vật, với những tập hợp chứa nhiều hơn 5 hay 6 vật được phân loại một cách đơn giản là “nhiều” hay “hàng đống” hay bằng những cách diễn tả cũng ở mức độ chính xác tương tự, cho mãi đến khi nhu cầu về giao dịch, đổi chác đã làm nẩy sinh ra những hệ đếm phát triển hơn. Sự xuất hiện của hình dạng bắt đầu với tư cách là nghệ thuật nguyên sơ qua các kiểu cách đan tết, các mẫu mã dệt thêu và các hình trang trí trên đồ gốm, các công trình kiến trúc. Các hình thái toán học của hình dạng chưa biểu lộ ra rõ ràng trong một thời gian dài, cái mà bây giờ chúng ta gọi là các hình hình học chỉ đơn giản là các mẫu trang trí thời đó.

Vào lúc khởi đầu của thời kì có sử, vào khoảng năm 5000 trước CN, toán học đã vào hẳn vào giai đoạn hai của sự phát triển. Các nhu cầu về định lượng của các xã hội xa xưa đã trở nên rộng rãi và thường xuyên đến nổi cần phải phát triển những phương pháp tổng quát để tính toán và ghi lại các quy luật và kết quả để dùng trong tương lai. Do người Babylon viết trên các tấm bằng đất sét gần như không hư hỏng được và giấy cói của người Ai Cập có thể giữ lâu trong khí hậu khô ráo của Bắc Phi nên hiện còn khá đủ các vết tích cho thấy một bức tranh khá chi tiết về những nổ lực đó trong các nền văn minh ban sơ của vùng Cận Đông. Những chứng cứ xưa nhất về các kiến thức toán học có tổ chức cho thấy hình như có sự tồn tại của một lịch Ai Cập vào năm 4241 trước CN, và có thể một lịch Babylon trước đó. Vào khoảng năm 3000 trước CN, người Sumery đã có thứ số học thương mại dùng được, và những bài viết trong Triều đại Ur thứ 3 cho thấy một hệ đếm vị trí cơ số 60 khá phát triển. Những bản văn của Triều đại Babylon thứ 1, lúc vua Hammurabi trị vì, cho thấy rằng vào khoảng năm 1950 trước CN người Babylon đã phát triển được thứ Đại số có khả năng xử lí các phương trình bậc nhất và bậc hai với hai ẩn, vả cả một số phương trình bậc cao hơn. Hình học của họ gồm các công thức diện tích và thể tích đơn giản, và cũng bao gồm việc thừa nhận một quy tắc về tam giác mà bây giờ chúng ta gọi là Định lí Pythagoras [Pi-ta-go]. Như vậy, giai đoạn đầu vĩ đại của toán học có thể được xem như gắn với người Babylon.

Những tiến bộ của người Ai Cập không ở sau quá xa các láng giềng của mình. Các vết tích xưa nhất hiện nay vẫn còn là quyển Ahmes Papyrus (còn được biết dưói tên Rhind Papyrus do được nhà khảo cổ thế kỉ 19 người Anh A. Henry Rhind mang bản thảo vế Anh) viết vào năm 1650 trước CN. Đây là một quyển sổ tay thực hành chứa các phương pháp giải các phương trình bậc nhất, các tài liệu về các phân số của đơn vị (một nét độc đáo của Toán học Ai Cập), các kĩ thuật đo lường, và các bài toán về các chuổi sơ cấp. Ahmes nêu rõ rằng ông chỉ chép lại một công trình trước đó được viết vào năm 1800 trước CN, và do đó có thể xem đây như là một sưu tập về các kiến thức toán học thời đó.

Hiểu biết của chúng ta hiện nay về nền toán học xa xưa ở Trung Quốc và Ấn Độ còn tương đối nghèo nàn. Những dân tộc này viết trên vỏ cây hay thẻ tre, vì vậy các bản sách rất dễ bị hư mục. Điều tệ hại này đôi khi lại nhân lên khi kết hợp với sự sai trái của con người. Chẳng hạn, vào năm 213 trước CN vua Tần Thỉ Hoàng đã ra lệnh đốt tất cả sách vở hiện có lúc đó và đem chôn sống các học giả phản kháng để ông ta có thể được xem như người sáng lập một thời đại mới cho việc học tập. Tuy nhiên, người ta vẫn còn lén giữ được các bản chép lại của nhiều bộ sách xưa, trong đó có bộ “Chu bể toán kinh” một bộ sách đối thoại về thiên văn và toán học. Bộ này được viết một thời gian ngắn trước năm 1100 trước CN, và một số tư liệu trong đó thuộc về giai đoạn xưa hơn nhiều. Bộ “Chu bể” chứa các tư liệu về hình học đo lường, nguyên tắc tính của định lí Pythagoras, một số kiến thức lượng giác sơ cấp, và bàn luận về các dụng cụ đo lường trong thiên văn. Chúng ta biết còn ít hơn vế nền Toán học của Ấn Độ giai đoạn này. Tất cả những gì có thể nói được là có chứng cớ về sự tồn tại của một hệ đếm dùng được được dùng trong Thiên văn và các tính toán khác, và một nổi quan tâm thực hành về hình sơ cấp.

Nét nổi bậc của Toán học giai đoạn tiền Hi Lạp này là sự vắng mặt hoàn toàn của lí luận suy diễn. Không có chút quan tâm nào trong việc minh giải các phát biểu; các quy tắc được đưa ra là vì chúng dùng được. Các phương pháp thử-sai là nguồn gốc của các kiến thức, những kết quả thành công được ghi nhận và truyền lại cho các thế hệ sau dưới dạng các công thức. Chỉ mãi cho tới lúc nở rộ của nền văn minh Hy Lạp thì Toán Học mới bước vào thời kì rực rỡ của mình. 

Lịch sử Toán học – Phần 2

2. Từ năm 600 trước CN tới năm 400 CN

Cùng đến với thiên niên kỉ đầu tiên trước Thiên chúa là những thay đổi mạnh mẽ xảy ra trên các vùng đất quanh Địa Trung Hải. Thời đại Đồ Sắt đến đã mang theo với nó sự gia tăng về du lịch và giao thương, các thành phố mới mọc lên dọc theo các bờ biển Tiểu Á và Ai Cập, và sự ưu thế về kinh tế của các chủ đất phong kiến nhường bước trước vai trò đang lên của các nhà buôn giàu có. Việc trao đổi hàng hoá được đi kèm với việc trao đổi tư tưởng và sự giàu có đẻ ra các thú nhàn hạ, vì thế vào khoảng thế kỉ thứ 6 trước CN đã có những người mà sự sung túc của họ cho phép họ chi tiêu vào việc xa xỉ nghiên cứu tri thức. Với chữ “Tại sao?” đầu tiên toán học đã bước vào giai đoạn ba của sự phát triển, một khoa học nghiên cứu theo nhu cầu nội tại của chính mình.

Nhịp xung đầu tiên đó gắn liền với tên tuổi của Thales [Ta-let] ở Miletus (vào khoảng năm 640 tới khoảng năm 546 trước CN), một nhà buôn giàu có mà các chuyến du lịch của ông tới Babylon và Ai Cập đã giúp ông quen biết với nến toán học phương Đông. Cho tới lúc này, hình học vẫn còn trong ý nghĩa hạn hẹp của nó, là đo đạc đất đai, và tầm cở của nó chỉ là những quy tắc đơn giản để hoàn thành nhiệm vụ đó. Tuy nhiên Thales đã chọn sáu mệnh đề, trong đó có các mệnh đề “Một đường tròn được chia đều bởi đuờng kính bất kì” , “Hai đường thẳng cắt nhau tạo các cặp góc đối đỉnh bằng nhau” và “Các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng thì tỉ lệ với nhau” và ông đã chứng minh rằng mỗi mệnh đề sau được suy ra từ các mệnh đề đứng trước. Các mệnh đề trên tự chúng đã rất nổi tiếng nhưng cách tiếp cận của ông là một bước đi cấp tiên vượt khỏi toán học truyền thống. Thales cũng có cống hiến trong lãnh vực thiên văn và lí thuyết số. Với tư cách là nhà sáng lập trường phái Ionia, ông đã giảng dạy và ảnh hưởng sâu đậm nhiều bộ óc tinh tế nhất của Hi Lạp cổ.

Thales

Một thành viên đáng chú ý nhất của trường phái Ionia là Pythagoras [Pi-ta-go] mà cuộc đời bí ẩn không thua gì các công trình sáng chói của ông. Ngày sinh lẫn nơi sinh của ông đều không biết chắc, nhưng ý chung của nhiều nhà nghiên cứu đều cho rằng ông sống vào khoảng năm 570 tới năm 500 trước CN. Phần lớn cuộc đời ông được thêu dệt bằng các truyền thuyết do ông sớm thành một khuôn mặt đầy huyền thoại của Hi Lạp. Các môn đồ của ông họp thành nhóm kín tôn thờ ý niệm về Số và dấu kín các kiến thức như dấu vàng. Pythagoras tự mở một trường ở Crotona, một thị trấn của Magna Graecia trên bờ biển Đông Nam của bán đảo Italy [Ý]. Ở đó ông giảng dạy một thứ triết học dựa trên những thành tố không thể hoán đổi được của tự nhiên, được lồng trong và biểu thị bởi các số nguyên. Mặc dầu đam mê tính thần bí của các con số, trường phái Pythagore cũng đã có đóng góp to lớn vào lí thuyết số, thiên văn, và hình học. Pythagore là người đầu tiên đã nhấn mạnh tới các giả định (tiên đề hay định đề) như là cơ sở cho việc chứng minh, và ông đã đưa ra cách chứng minh đầu tiên cho định lí về tam giác vuông cho đến nay vẫn còn mang tên ông, Khá lạ lùng là trường phái Pythagoras laị là nơi xuất phát của một trong những ý tưởng có ý nghĩa nhất, đó là việc kiểm chứng lại một khái niệm mà tính đúng đắn của nó có thể phá hỏng hoàn toàn triết lí của chính họ. Họ đã khám phá ra sự tồn tại của các đoạn thẳng vô ước, mà theo thuật ngữ của chúng ta có nghĩa là sự tồn tại của các đại lượng vô tỉ hay đại lượng không thể biểu thị dưới dạng các số nguyên. Họ đã cố gắng ỉm đi khái niệm tệ hại này nhưng đã có những rò rĩ khiến chẳng bao lâu người ta đi tìm một triết lí mới khác về bản chất.

Pythagoras

Một khuôn mặt gây nhiều rắc rối trong thế giới tư tưởng còn nhiểu loạn của Hi Lạp là Zeno [Zê-nông] ở Elea, một nhà triết học đầu thế kỉ thứ 5 trước CN, từng giảng rằng chuyển động hay thay đổi thuộc bất cứ loại nào đều chỉ là biểu kiến. Đóng góp của ông cho Toán học gồm 4 nghịch lí mà ông đã đề ra cho các nhà tư tưởng cùng thời. Chúng bao gồm 2 quan điểm đối nghịch nhau về vô hạn và chuyển đông, với 2 nghịch lí cho mỗi quan điểm. Sau đây, xin nêu ra một ví dụ cho mỗi quan điểm:

“Achilles[1] – Achilles (A-sin) chạy để vượt qua mặt một con rùa đang bò phía trước sẽ không bao giờ qua mặt được con rùa, bởi vì trước nhất ông ta phải chạy đến chỗ bắt đầu của con rùa; khi Achilles tới chỗ đó thì con rùa đã rời đi và như thế nó vẫn còn trước ông. Tiếp tục lập luận như thế, dễ thấy con rủa sẽ luôn luôn ở phía trước Achilles.”

“Mũi tên – Một mũi tên bay, vào bất kì thời điểm nào thì sẽ hoặc là đang đứng yên hoặc là không đứng yên, tức là đang di động Nếu thời điểm là không phân chia được thì mũi tên không thể di động bởi vì nếu nó di động thì lập tức thời điểm có thể phân chia đuợc. Nhưng thời gian được tạo thành từ các thời điểm. Vì mũi tên không thể di động ở bất kì thời điểm nào nên nó không thể di động trong bất kì thời gian nào. Do đó mũi tên luôn luôn đứng yên.”

Bất kì cố gắng nào đê giải quyết các nghịch lí trên đều dính líu tới việc xem xét khái niệm giới hạn, và mặc dù những người cùng thời với Zeno đã không thành công trong việc tìm ra manh mối những rối rắm trong lời nói của ông, nhưng hạt giống mới đã được gieo xuống và cuối cùng hoa quả sẽ được kết thành sau này trong lãnh vực toán vi tích phân. Tuy nhiên, mầm giống mới này đã phải qua một thời gian tăng trưởng kéo dài 2000 năm.

Plato [Pla-tông] và Aristotle [A-rix-tôt] là điển hình cho kiểu tư duy mà người Hi Lạp đóng góp lớn nhất vào Toán học. Những phát triển của hai ông về các nguyên tắc suy luận logic và các phương pháp tiên đề trong chứng minh đã đặt Toán học lện một nền móng được xem là khó lay chuyển được cho tới thế kỉ hiện nay của chúng ta. Dưới sự dẫn dắt của hai ông, Toán học đã chia sẻ sự vinh quang của Thời Hoàng kim với tư cách là một khoa học triết lí không đứng sau lãnh vực nào khác. Trong giai đoạn này đã nổi lên “các bài toàn cổ” (problems of antiquity), có lẽ là các bài toán nổi tiếng nhất của mọi thời đại. Đó là các bài toán dựng hình hình học, chỉ được phép dùng thước kẻ (không khắc vạch) và compa để giải. Với hai dụng cụ đó, yêu cầu đề ra là:

(i) chia một góc ra 3 góc bằng nhau (Chia ba một góc),
(ii) tìm cạnh một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một hình cầu cho sẵn (Gấp đôi một hình cầu).
(iii) tìm một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn (Cầu phương một hình tròn).

Cả 3 đều là các câu hỏi mở cho mãi đến thời kì hiện đại, khi các phép dựng hình này cuối cùng đã được chứng minh là không thể thực hiện được. Tuy nhiên, sự kiện thực về sự tồn tại của chúng như một thứ đố chướng mắt trêu ngươi đã dẫn các học giả đến một loạt các khám phá mới.

Một trong các học giả đó là Eudoxus [Ơ-đôc] (vào khoảng năm 408 tới 355 trước CN), một học trò của Plato, vừa đồng thời là nhà vật lí, nhà lập pháp và nhà toán học. Tên ông được gắn với sự phát triển lí thuyết về tỉ lệ, lí thuyết này khắc phục được các khó khăn trong việc xử lí các đai lượng vô ước. Ông đã đưa ra “phương phát vét cạn”, một cách thức giải quyết việc tính diện tích và thể tích, rất tương tự với các ý niệm cơ bản của phép tính tích phân ngày nay.

Khi Đại đế Alexander chinh phục thế giới vào năm 334 trước CN, nền văn minh phương Tây bắt đầu thay đổi. Văn hoá và tư tưởng Hi Lạp hoà nhập với văn hoá và tư tưởng phương Đông, và trung tâm Toán học của thế giới phương Tây chuyển về Alexandria. Giai đoạn thăng hoa của nó bắt đầu với Euclid [Ơ-clid] (khoảng năm 300 trước CN), “một tác giả sách gíáo khoa thành công nhất mà cả thế giới chưa từng biết” và “người duy nhất mà vinh quang từng đến và sẽ không thể đến lần nữa trong việc đúc kết một cách thành công trong các trước tác mình tất cả những phần cốt lỏi của kiến thức Toán học tích tụ cho đến lúc đó”. Các công trình của ông có tính tổng hợp cao đến nổi chúng qua mặt tất cả các bộ sách trước đó, và vì lí do này mà rất ít các bản thảo của Hi Lạp trước Euclid còn giữ lại. Hầu hết các thông tin liên quan đến các công trình trước thế kỉ thứ 3 trước CN đều phải đươc xây dựng lại từ các nguồn tài liệu sao chép. Công trình vĩ đại của ông là bộ “Cơ bản” (Elements), một bộ sách 13 quyển sắp xếp như sau:

Quyển I – IV: Hình học phẳng, bao gồm định lí Pythagoras;
Quyển V – VI: Lí thuyết về tỉ lệ của Eudoxus và các ứng dụng vào các hình đồng dạng;
Quyển VII – IX: Lí thuyết số, bao gồm thuật toán Euclid;
Quyển X: phân Loại hình học các số vô tỉ toàn phương và các căn bậc hai của chúng;
Quyển XI – XIII: Hình học không gian, dứt điểm bằng một chứng minh về sự tồn tại của 5 khối đa diện (Plato) đều.

Một số phần trong bộ tài liệu đó chắc chắn là công trình riêng của Euclid, và ông cũng đã thừa nhận công khai rằng ông đã thừa kế ở các phần khác nhưng một sự phân định chính xác giữa cái riêng của ông và cái thừa kế thì rất khó biết chắc. Tuy nhiên, kể cả khi ông không có đóng góp chút gì vào nguyên tác, bộ Cơ bản vẫn không giảm sút ý nghĩa vốn có của nó vì đó là một cố gắng thành công nổi bậc để sắp xếp lại toàn bộ các kiến thức toán học vào trong một hệ thống diễn dịch logic trên nền tảng tiên đề đơn giản.

Euclid

Toán học Hi Lạp đã đạt tới đỉnh cao của sự phát triển với sự nở rộ của trường phái Alexandria. Cách sau Euclid không lâu là Archimedes [A-si-met] (287 – 212 trước CN), một nhà thiên văn đồng thời là người tiên phong trong lĩnh vực vật lí và toán ứng dụng và cũng là một nhà toán học lí thuyết. Ông học tập một thời gian ngắn ở Alexandria, sau đó trở về quê hương ông ở Syracuse. Việc ứng dụng khoa học để bảo vệ thành phố này chống lại bọn xâm lược Marcellus và cái chết sau đó của ông dưới tay một tên lính La Mã hung hăng rất nổi tiếng xin không được kể lại ở đây. Quan trọng nhiều hơn là các công trình của ông bao gồm các đóng góp chính yếu vào lí thuyết số và đại số, nhất là việc xử lí các dãy vô hạn, cùng với một số lượng đồ sộ các công trình hình học, trong đó ông đã phát triển một số các nguyên tắc nổi bậc của toán vi tích phân, đi trước Newton và Descartes độ 900 năm.
Một nguời cùng thời với Archimedes là Apolonius [A-pô-lô-ni-ut] (khoảng 260 – 210 trước CN) một nhà hình học có tầm cở. Bảy trong số 8 quyển sách sâu sắc của ông về các mặt cắt conic vẫn còn tồn tại nguyên vẹn. Trong các quyển sách này ông đã phát triển một cách có hệ thống nhiều tính chất cơ bản của ellip, parabol và hyperbol, khảo sát các chủ đề về tiêu chuẩn bằng nhau, đồng dạng của các đường cong này, các hình tiếp xúc, và các đa giác nội, ngoại tiếp. Thế giới không tìm thấy một nhà hình học tổng hợp nào khác ông cho đến khi Jacob Steiner xuất hiện vào thế kỉ 19.
Sau Apolonius, làn sóng toán học của Hị Lạp đạt tới đỉnh cao và suy thoái dần vào sự quên lãng cùng với các lĩnh vực còn lại của nền văn minh Hi Lạp. Chỉ có hai luồng sóng lớn xuất hiện vượt lên những gợn sóng lăn tăn của các tác gia nhỏ của giai đoạn này. Nhà thiên văn Ptolemy [Ptô-lê-mê] (Claudius Prolemacus, khoảng 85 – 165 CN) viết một sách tổng hợp về thiên văn được biết với tên là Almagest, trong đó các biên giới của toán học tính toán đã được mở rộng tới lượng giác phẳng và mở đầu của lượng giác cầu, bao gồm bảng các giá trị dây cung – góc và phép chiếu nổi. Khoảng một thế kỉ sau đó, Diophantus [Di-ô-phăng] ở Alexandria (khoảng 275 CN) viết bộ Số học (Arithmetica), một sự pha trộn tuyệt vời toán học Hi Lạp với toán học phương Đông mà 6 quyển trong só đó vẫn còn giữ được đến nay. Đó có thể xem như là một cột mốc trong sự phát triển của lí thuyết số, chứa đựng cách giải quyết các phương trình vô định và các bài toán đòi hỏi các nghiệm hữu tỉ. Đó cũng là tập sách đầu tiên trong đó một loại kí hiệu đại số được dùng một cách có hệ thống. Về mặt này Diophantus đi trước các học giả cùng thời nhiều thế kỉ.
Toán học phương Đông trong giai đoạn này ở cả Ấn Độ lẫn Trung Quốc vẫn còn chủ yếu là tính toán và né tránh chứng minh. Với ngoại lệ về sư cố đốt sách vào năm 213 trước CN, người Hoa đã có những bưóc tiến chậm nhưng vững chắc trong số học tính toán thủ công và cũng có thể nói như thế cho Ấn Độ.
Chú thích

[1] Achilles một nhân vật trong thần thoại Hi Lạp có sức mạnh và thân thể không thể bị thương ngoại trừ ở gót chân (từ đó trong tiếng Anh có thành ngữ “Achilles’heel” để chỉ chỗ yếu của con người).

Lịch sử Toán học – Phần 3

3. Từ 400 đến 1400 CN

Mặc dù thu lượm nhiều thành quả trong các lĩnh vực khác, Đế quốc La Mã lại yếu kém về mặt toán học, và việc chinh phục khu vực Địa Trung Hải của họ không mang lại gì nhiều cho các khoa học lí thuyết. Bất kì hoạt động nào ở đó cũng đều chịu của ảnh hưởng còn lại của Hi Lạp và của phương Đông, khi đó cơ bản vẫn còn nguyên vẹn dù có những bi kịch như cái chết của Archimedes. Cùng với sự sụp đổ của La Mã và sự tan biến nền thống trị chính trị Latin vào năm 476, văn minh phương Tây bước vào giai đoạn ngưng trệ về mặt tri trức. Tên tuổi duy nhất đáng được ghi nhận là Anicius Manlius Severinus Boethius (khoảng 475 – 524), một công dân La Mã, nhà chính trị, triết học và toán học mà các công trình của ông gồm số học, hình học và âm nhạc (được xem như là một phần của toán học lúc bấy giờ). Mặc dầu các tài liệu này thiếu tính ngọn nguồn và nhất là không phong phú về mặt nội dung, các bài viết của ông vẫn được các trường đạo coi như chính thống trong nhiều thế kỉ. Việc đánh giá cao này có thể do ông là thánh tử đạo Thiên chúa hơn là giá trị nội tại của tài liệu. Thật sự, tiến bộ về tư tưởng của Tây Âu đi xuống tận đáy của nó vào thế kỉ thứ 6.

Trong khi đó Toán học Ấn Độ bắt đầu kết trái. Ảnh hưởng của khoa học Babylon và phương Đông hoà quyện với tư tưởng bản xứ Ấn Độ và từ đó nẩy nở ra các kết quả có ý nghĩa trong đại số và số học. Các nhà toán học Hindu (Ấn) thế kỉ thứ 5 đã làm việc với các số phẳng[2] và số không gian[3], thu đạt các kết quả cả về lí thuyết lẫn tính toán, có cả việc xấp xỉ số π bởi 62832/20000 hay 3.1416. Trong thế kỉ kế, công trình này được mở rộng thêm để xử lí các phương trình đại số vô định theo phương pháp của Diophantus (Đi-ô-phăng). Tuy nhiên, người Hindu giới hạn các bài toán của mình để chỉ cho các nghiệm nguyên, cả duơng lẫn âm và các điều kiện đó là những điều kiện mà chúng ta dùng trong biện luận các phương trình Diophant mà hiện nay.

Thành tựu quan trọng của toán học Ấn là việc phát triển hệ đếm mà chúng ta dùng hiện nay, hệ vi trí cơ số 10 và kể cả kí hiệu cho số zero. Cả hệ thập phân lẫn hệ vi trí đều đã được các dân tộc khác phát triển trước đó, nhưng đây là sư kết hợp đầu tiên của cả hai ý tưởng. Những bằng chứng về việc sử dụng nó có từ năm 595 CN, nhưng kí hiệu zero không tìm thấy đưọc vết tích chắc chắn trước thế kỉ thứ 9, mặc dầu người Babybon cũng có một kiểu cách kí hiệu tương tự trước thời đại Thiên chúa.

Bắt đầu với Mohammed’s Hegira năm 622, nguời Hồi giáo đã trở thành nguồn ảnh hưởng chi phối trong toán học phương Tây. Binh sĩ đạo Hồi tràn qua Bắc Phi đi vào Tây Á, và chọc thủng nhiều phần châu Âu. Toán học Hi Lạp và Ấn Độ đã được các học giả Á Rập hấp thụ và tổng hợp, họ dịch hầu hết các bản thảo quan trọng sang tiếng Á Rập, khi dịch chỉ đóng góp chút ít vào những điều có tính căn cơ nhưng có công tinh giản các tài liệu hiện có và bảo toàn tính kế tục của tư tưởng. Các vua Hồi thế kỉ thứ 8 và 9 là những nhà bảo trợ vĩ đại của các khoa học chính xác, đặc biệt là thiên văn và toán học, và vì thế việc học tập khoa học đã lan rộng khắp thế giới Á Rập . Trong số các học giả đạo Hồi giai đoạn này có một người rất xứng đáng nêu tên một cách đặc biệt. Ông ta là Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi (khoảng 825), đã viết 2 quyển sách có ý nghĩa, một quyển về số học và quyển kia về đại số. Chỉ có quyển thứ hai là vẫn còn tồn tại nguyên bản tiếng Á Rập, nhưng cả hai quyển đều được các học giả châu Âu thế kỉ 12. dịch sang tiếng Latin. Tựa đề quyển thứ nhất trong bản dịch là Algorithmi de numero Indorum (từng chữ là “Al-Khowarizmi về các số Ấn Độ”). Đó là một trong những cách mà nhờ đó châu Âu biết được hệ thống số của Ấn Độ, và đó cũng là nguồn gốc của từ “algorithm” (thuật toán). Quyển thứ hai có tựa là al-jabr w’al muqabalah (từng chữ là “phép Khôi phục và phép Đối lập”) và được dành toàn bộ cho việc nghiên cứu về các phương trình tuyến tính (bậc nhất) và bậc hai. Qua việc Latin hoá, từ khoá của tựa sách biến thành “algebra”, và do tính đại chúng rộng rãi của quyển sách ở chậu Âu, từ này chẳng bao lâu trở thành đồng nghĩa với khoa học về phương trình.

Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi

Một người khác cũng đáng nêu tên ngắn gọn ở đây. Omar Khayyám, sống ở Bắc Iran vào cuối thế kỉ 11 đươc biết chủ yếu như là tác giả của quyển Rubáiyát, nhưng ông cũng là một nhà toán học xuất sắc. Ông viết về Euclid, làm lịch hiệu đính Iran (Ba Tư), và viết một quyển sách về đại số trong đó ông bàn về việc xác định các nghiệm của phương trình bậc ba như là giao điểm của hai mặt cắt conic.

Chỉ cho đến những năm cuối của thế kỉ 11 các nhà kinh điển toán học Hi lạp mới bắt đầu thâm nhập vào châu Âu, và cùng với sự trổi dậy chậm chạp của nến phong kiến, phương Tây bắt đầu khuấy động lên từ tình trạng ngày ngủ về học thuật. Trong thế kỉ 12, họ dịch lại sang tiếng Latin các công trình toán học lớn đã đưọc dịch sang tiếng Á rập vài thế kỉ trước, đặc biệt là ở Tây Ban Nha nơi nhiều học giả Do Thái được sử dụng cho mục đích này sau sư thua trận của người Moors vào năm 1085. Khi giao thương giữa phương Tây và phương Đông mở rộng, nhiều trung thương mại cuờng thịnh đã được thành lập dọc theo bờ biển nước Italy. Các nhà buôn châu Âu bắt đầu thăm viếng phương Đông để tìm kiếm và đưa vào sử dụng thực tế bất kì thông tin khoa học nào mà họ có thể tìm thấy được. Người đầu tiên trong số đó đã làm ra một công trình toán học có ý nghĩa là Leonardo of Pisa (k 1170 – k 1250), được biết nhiều hơn với tên Fibonacci. Công trình chính của ông là bộ Liber Abaci, một công cụ phổ biến hệ đếm Ấn Độ – Á Rập cho Tây Âu. Ông cũng viết về đại số và hình học, và tìm tòi về dãy số vô định đến nay vẫn còn mang tên ông (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…. Mỗi số hạng là tổng của 2 số hạng liền trước).

Fibonacci

Không phải toàn bộ các thứ toán học trong giai đoạn này đã được hình thành chỉ vì giá trị thực tiễn của chúng. Các nhà triết học kinh viện đã nghiên cứu về tính vô hạn và các ý tưởng của họ đã ảnh hưởng các nhà toán học thế kỉ 17 lẫn 18. Các học giả quan chức cũng làm việc trong các lãnh vực hình học và đại số. Nổi bậc trong số này là Nicole Oresme (k. 1323 -1382), giám mục vùng Lisieux, cũng là một nhà kinh tế. Ông đuợc biết như người đầu tiên đã dùng số mũ phân số và định vị các điểm bằng toạ độ số.

Khi các thành phố mọc thêm khắp châu Âu thì các trường của nhà thờ bắt đầu giành lấy vị trí của mình. Chúng trở thành các đại học, được trao quyền cấp bằng được cả Nhà nước và nhà thờ công nhận. Những trưòng đại học đầu tiên ở Paris, Oxford, Cambridge, Padua và Naples đều đươc ban quyền trong thế kỉ 13. Việc đổi mới này như một hứa hẹn to lớn cho sự tiến triển của học thuật suốt thế kỉ 14, nhưng hứa hẹn đó chỉ hoàn tất một phần, bởi vì mặc dù các trường đại học đã học thành lập nhưng cuộc Chiến tranh trăm năm (1337 -1453) và trận dịch Đen (1347-1351) đã làm ngưng trệ nền văn hoá mới nổi của châu Âu và trì hoãn sự hồi sinh của sáng tạo toán học. 

Lịch sử Toán học – Phần 4

4. Thế kỉ 15 và thế kỉ 16

Thời Phục hưng của nghệ thuật và học thuật bắt đầu một cách nhanh nhẩu trong thế kỉ 15. Khi Constantinople sụp đổ vào năm 1453, nhiều học giả Hi lạp di cư tới các thành phố và đại học mới của phương Tây. Điều này trùng hợp với việc phát minh ra máy in kiểu di động, một phương tiên hiệu quả trong việc phổ biến thông tin. Các nhu cầu ngày càng tăng của việc giao thương, hàng hải, thiên văn và điều tra thúc đẩy việc nghiên cứu toán học và đồng thời cũng giới hạn nó một ít. Chủ đề thống trị của toán học thế kỉ 15 và 16 là việc tính toán và toán học đã tiến những bước dài trong việc đạt tới tính chính xác và sự hiệu quả trong kĩ thuật tính.

Nhà toán học dẫn đầu của thế kỉ 15 là Johannes Müller (1436-1476), còn được biết dưới tên Regiomontanus. Ngoài việc dịch lại nhiều công trình cổ điển Hi Lạp và nghiên cứu các vì sao, ông còn viết quyển De triangulis omnimodis, quyển sách đầu tiên dành riêng cho lượng giác. Quyển sách này khác biệt rất ít so với lượng giác hiện nay trừ cách kí hiệu, và nó đánh dấu sự mở đầu của lương giác như một ngành học độc lập với thiên văn.

Những quyển sách toán được in đầu tiên là sách số học thương mại xuất hiện năm 1478 và bản Latin của quyển Cơ bản của Euclid năm 1482. Tuy nhiên, toán học thu được nguồn lợi tức thật sự lần đầu từ việc in ấn bằng sự xuất hiện của quyển Summa de Arithmetica của Luca Pacioli, một nhà tu dòng Francisco. Quyển sách này được viết bằng tiếng Ý và là một sách hoàn chỉnh của tất cả kiến thức số học, đại số, và lượng giác biết được tới lúc đó, kết thúc với một nhận xét rằng các phương trình bậc ba là không giải được với các công cụ toán học đang có. Như để đáp ứng với thách thức này, các nhà toán học ở Đại học Bologna đã tấn công vào bài toán và đã khử đuợc nó trong phần tư đầu của thế kỉ kế.

Nhà khoa học lỗi lạc nhất của thời kì này là Leonardo da Vinci (1452-1519), một người với sự tài giỏi đa dạng bao gồm các lĩnh vực hoạt động như hội hoạ, điêu khắc, sinh học, kiến trúc, cơ học và quang học. Công trình toán học của ông tập trung vào hình học và ứng dụng của nó vào nghệ thuật và các khoa học vật lí. Việc ứng dụng toán học vào nghệ thuật không chỉ hạn hẹp trong các công trình của Vinci. Nhiều hoạ sĩ nổi tiếng khác của thế kỉ 16 cũng là các nhà hình học xuất sắc, nổi bậc là Albretch Dürer. Ông viết công trình in đầu tiên bàn về các đường cong phẳng bậc cao và khảo sát của ông vể phối cảnh và tỉ lệ đã được phản ánh trong các tác phẩm nghệ thuật của các hoạ sĩ cùng thời.

Leonardo da Vinci

Cha đẻ của toán học Anh là Robert Recorde (k 1510 -1558), một bác sĩ y khoa, nhà giáo duc và một công chức. Ông đã xuất bản 4 quyển sách toán, viết với dạng đối thoại tiếng Anh với sự trong sáng, chính xác và có cơ sở: The Ground of Artes (Cơ sở của số học), một sách số học đã trải qua tới ít nhất 29 lấn tái bản; The Castle of Knowledge (Lâu đài kiến thức), bản trình bày đầu tiên bằng tiếng Anh về lí thuyết Copernic trong thiên văn; The Pathway to Knowledge (Con đưòng dẫn đến Kiến thức), bản rút ngắn của bộ Cơ bản của Euclid; và The Whetstone of Witte, sách đại số, trong đó kí hiệu đẳng thức "=" xuất hiện lần đầu tiên.

Robert Recorde

Trong nửa sau của thế kỉ 16, một luật sư người Pháp tên là François Viète [Vi-et] (1540-1603) bắt đầu dành toàn bộ thời gian rãnh rổi cho toán học, và ông đã đưa kĩ thuật đại số tiến những bước đáng kể. Ông là người đầu tiên dùng các hệ số bằng chữ khi giải phương trình, và sự nhất quán trong hệ thống kí hiệu của ông, bao gồm cả dấu + và –, đã đưa ông thành ngưòi đi đầu trong việc phát triển các phương pháp tổng quát cho việc giải phương trình. Bằng cách áp dụng các phương pháp đại số này, Viète [4] đã mở rộng và khái quát việc nghiên cứu lượng giác. Cho mãi tới thế kỉ 18 mới có một nhà đại số khác có năng lực tương đuơng với ông.

François Viète

Tên tuổi cuối có tầm quan trọng lớn thuộc thế kỉ 16 là Simon Slevin của Hà Lan, có công phát triển lí thuyết về phân số thập phân năm 1585. Hai trăm năm chuẩn bị cho một cuộc bùng nổ về khoa học báo hiệu bình mình của kỉ nguyên lớn thứ ba của toán học đã kết thúc như thế.

Chú thích

[2] Số phẳng là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích 2 thừa số nguyên
[3] Số không gian là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích của 3 thừa số nguyên
[4] Trong chương trình toán THP,T chúng ta biết Viète qua định lí về tổng và tích của phương trình bậc hai ($S=-\frac{b}{a}$ và $P=\frac{c}{a}$) 

Lịch sử Toán học – Phần 5

5. Thế kỉ 17

Hai xu hướng có tính phá hoại trước đây bắt đầu cho quả ngọti trong thế kỉ 17. Xu hướng đầu và hiển nhiên hơn là sự xuất hiện thường xuyên của các cuộc chiến tranh cả lớn lẫn nhỏ về chính trị và tôn giáo., Kể từ thời Thập tự chinh, châu Âu lúc nào cũng chìm trong xáo trộn và hiếm có một năm trôi qua mà không có xung đột ở một nơi nào đó. Như từng thấy trong lịch sử, chiến tranh và đòi hỏi không ngừng nghỉ của nó về các thứ vũ khí mới và tốt hơn đã thúc ép các bộ óc tốt nhất của thời đại thi nhau trong việc sang chế ra các loại máy móc cho chiến trường. Tuy nhiên một khi vũ khí đã được làm ra, những đầu óc tốt thật sự thiết kế ra chúng quay ra việc nghiên cứu máy móc nói chung. Công trình của Leonardo da Vinci là một ví dụ tốt nhất cho điều này. Châu Âu từ từ đi vào giai đoạn đầu của cơ khí hoá, và trong một cố gắng phát triển các kĩ năng kĩ thuật cần thiết, các nhà khoa học và học giả đã chuyển vào nghiên cứu về chuyển động và thay đổi. Xu hướng thứ hai cũng rất mạnh bạo nhưng bắt đầu tinh tế hơn. Việc cải cách tôn giáo khởi xướng bởi Martin Luther ở lục địa châu Âu và bởi vua Henry VIII và con gái là Elizabeth ở Anh đã khơi ngòi cho một sự phản kháng của giới trí thức chống lại nhà cầm quyền và lề thói cũ đã đươc ủ mầm trong nhiều năm. Chủ nghĩa hoài nghi nói chung đã làm trẻ hoá triết học, và các nhà khai phá tư tưỏng đã bức phá về mọi hướng. Thời kì hỗn hợp này của khoa học và chủ nghĩa duy lí đã sản sinh ra nhìều nhân vật vĩ đại của lịch sử – các nhà thiên văn Galileo và Kepler; các nhà triết học Hobbes, Locke và Spinoza; và các tác gia Dryden, Milton và Shakespeare. Toán học đã trải qua một thời kì lớn mạnh chưa từng thấy cho tới thời hiện đại, và số lượng những người đóng góp có ý nghĩa cho sự tiến bộ của khoa học từ lúc này trở nên nhiều đến nổi từ đây trở đi chúng ta buộc phải tự giới hạn vào các nhà toán học sáng tạo hàng đầu mà thôi.

John Napier [Nê-pe] đạt tới đỉnh cao trong sự nghiệp khoa học của mình vào lúc dòng họ Stuarts lên thay cho dòng họ Tudors cai trị nước Anh và William Shakespeare đang trong giai đoạn sung mãn nhất. Ông sinh năm 1550 ở Scotland và là ngưòi cùng thời với Galieo và Kepler, và là một sản phẩm đích thực của thời đó. Gần suột cuộc đời mình, ông lúc thì công kích giáo hội Thiên chúa lúc thì nghiên cứu và thiết kế các thiết bị quân sự và đại bác tự phóng. Nhưng điều làm ông thành bất tử chỉ được xác lập vài năm trước khi ông mất là việc xuất bản quyển Mirifici Logarith-morum canonis Descriptio, trong đó ông đặt nền móng cho lí thuyết logarithm (lô-ga-rit). Hệ thống logarithm của ông hơi khó sử dụng, nhưng nhiều năm sau khi ông mất (vào năm 1617) nó đã dược hoàn thiện bởi Henry Briggs, một người bạn và đồng nghiệp của ông , người lúc đầu đã gợi ý việc dùng cơ số 10. Khá lạ lùng là sự phát triển của lí thuyết logarithm đã đi trước sự phát triển của các hàm mũ khoảng 50 năm.

John Napier (1550-1617)

Không thua kém nước láng giềng bên kia eo biển Anh, nước Pháp đã sản sinh ra 4 nhà toán học xuất sắc trong vòng nửa thế kỉ. Người đầu tiên trong số này là nhà triết học-khoa học René Descartes [Đê- cac] (1596-1650). Nhiều năm nghiên cứu và chiêm nghiệm đã thuyết phục ông là tất cả mọi khoa học đều có liên quan với nhau và chìa khoá cho sự liên quan đó là Toán học. Trong quyển sách nổi tiếng “Discours de la Méthodes”xuất bản vào năm 1637 ông đã nêu: “Chuổi dài các lập luận dễ dàng và đơn giản mà các nhà hình học quen dùng để đi tới các kết luận cho các chứng minh hóc hiểm nhất của họ đã khiến tôi nghĩ rằng tất cả mọi vật, đối với kiến thức mà con người có được, đều dính dáng lẫn nhau theo cùng một cách, và rằng từ trước đến giờ không có cái gì bị loại bỏ khỏi chúng ta lại ở ngoài tầm hiểu biết của chúng ta, hay quá dấu kín đến nổi chúng ta không phát hiện ra được, chỉ miễn là ta kiên dè không chấp nhận cái sai thành cái đúng và luôn luôn gìn giữ trong tư tưởng của mình cái trật tự cần thiết cho sự diễn dịch từ cái đúng này đến cái đúng khác”. Ông giải thích rằng phương pháp của ông là sự hợp nhất của logic, “Giải tích (Hình học) của người xưa”, và “Đại số của người hiện đại”, và đề ra 4 quy tắc cơ bản của quy trình khi nói rằng “Bằng cách này tôi tin rằng tôi có thể vay mượn tất cả cái gì là tốt nhất trong Giải tích hình học và trong Đại số, và chỉnh sửa tất cả các khiếm khuyết của cái này nhờ sự trợ giúp của cái kia.” Nói rằng Descartes đã thành công trong việc hợp nhất tất cả các thứ khoa học là hơi quá đáng, nhưng ông đã làm được việc tái hợp 2 họ toán học lớn là số lượng và hình đạng ở một trong ba phụ chương của quyển “Discours de la Méthode”, có tựa đề đơn giản là “La Géometrie” (Hình học). Đây là ấn bản đầu tiên về Hình học giải tích. Trong phụ chương này ông đã áp dụng phương pháp đại số vào hình học khi biểu diễn và phân loại các đuờng cong và các hình hình học khác bằng các phương trình đại số liên kết với một hệ toạ độ. Ông đã dùng cách tiếp cận đại số này để khảo sát và giải quyết một số các câu hỏi hình học, bao gồm cả vài bài toán cổ điển cho tới lúc đó vẫn còn chưa giải đuợc.

René Descartes (1596-1650)

Một đồng hương và cũng là người quen của Descartes là Pierre de Fermat [Fec-ma] (1601-1665), được một số người suy tôn là nhà toán học thuần tuý vĩ đại nhất của thế kỉ 17. Ông chắn chắn là một trong những nhà nghiên cứu khoa học tài tử xuất sắc nhất trong lịch sử. Fermat là một luật sư trầm lặng và không phô trương, một công chức ham thích toán học chỉ như thú vui, công bố ít ỏi nhưng đã bộc lộ khả năng sáng tạo của ông trong khi trao đổi thư từ với Descartes, Mersenne, Pascal và nhiều người khác. Ông phát minh ra hình học giải tích độc lập với Descartes, thai nghén cách tiếp cận toán vi tích phân trước cả khi Newton lẫn Leibniz chưa sinh ra., và là một trong những cha đẻ của lí thuyết toán học về xác suất. Dù các thành tựu nổi trội đó, nhưng ông được biết nhiều nhất qua công trình trong lí thuyết số về tính chất của các số nguyên tố. Thật châm biếm là tên ông lại được gắn thường xuyên với một mệnh đề mà ông không nêu xuất xứ cũng như chứng minh. Trong số nhiều ghi chú bên lề trên một quyển sách ông có (dịch công trình của Diophantus), có một ghi chú cạnh bài toán tìm các giá trị x, y và a thoả phương trình $x^2+y^2=a^2$. Ở ghi chú này ông cho rằng với các số mũ lớn hơn 2 sẽ không có nghiệm nguyên, và tuyên bố rằng ”Tôi đã tìm được một chứng minh thật sự kì diệu [cho điều này] mà lề sách thì quá hẹp không đủ chỗ để ghi ra”. Rủi thay, hình như ông cũng chẳng hề viết nó ở chỗ nào khác, và “định lí cuối cùng của Fermat” vẫn còn được xếp vào trong các bài toán rắc rối nhất chưa giải được cho tới cách đây không lâu.[5]

Người thứ ba trong nhóm này là Gérard Desargues (1593-1662), một quân nhân, một kĩ sư và một nhà hình học. Suốt thời ông còn sống, phần lớn các công trình của ông đều bị che khuất bởi sự quan tâm chung của công chúng đang hướng về các bài viết của Descartes, nhưng hai thế kỉ sau, sách về conic của ông đã đuợc xuất bản lại và được tôn vinh ngay lập tức như là một sách giáo khoa về hình học thuần tuý. Desargues đưa ra cách xử lí hình học về các điểm ở vô tận và nghiên cứu sâu về phối cảnh, và do vậy trở nên nhà sáng lập môn hình học xạ ảnh (chiếu) hiện đại.

Gérard Desargues (1593-1662)

Hoàn chỉnh bộ tứ kiệt xuất này là Blaise Pascal (1623-1662). Từ lúc mới 12 tuổi ông đã xem hình học như một trò giải trí, vào tuổi 16 ông đã chứng minh một trong những kết quả đẹp đẽ nhất và khó đạt tới trong hình học (Nếu một hình lục giác nội tiếp trong một conic thì các giao điểm của ba cặp cạnh đối diện thẳng hàng). rồi ứng dụng nó để đúc kết và mở rộng các công trình trước đó trong lĩnh vực này. Ông đã phát minh ra máy tính khi ông 19 tuổi, và vào tuổi 20 ông đã được công nhận như là một nhà vật lí có năng lực. Ông cùng với Fermat là cha đẻ của lí thuyết xác suất, một môn học mà hai ông đã bị lôi cuốn vào trong nổ lực chung nhằm tìm lời giải đáp cho các câu hỏi của các hội viên quý tộc bài bạc. Ông cũng nghiên cứu các tính chất của đường cycloid và là một trong những người đầu tiên dùng quy nạp toán học một cách có ý thức. Bi kịch của Pascal là vào tuổi 25 ông trở thành một tín đồ gần như cuồng tín dị giáo Jansen và coi toán học như thứ vặt vãnh chỉ để thỉnh thoảng đùa nghịch mà thôi. Phần lớn quảng đời còn lại của ông dành cho việc nghiên cứu triết học và tôn giáo, từ đó ra đời 2 tác phẩm cổ điển “Pensées” (Tư tưỏng) và “Lettres provinciales” (Các lá thư tỉnh lẻ).

Blaise Pascal (1623-1662)

Trong những năm đầu của thế kỉ 17 viên gạch nền móng cuối cùng cho toán vi tích phân được tạo hình ở Ý. Bonaventura Cavalieri, một giáo sư toán học dòng Jesuate của đại học Bologna, đề ra “nguyên lí của không chia hết” năm 1629. Nguyên lí này định ra tiêu chuẩn cho việc so sánh diện tích và thể tích một số hình hình học, dựa trên khẳng định rằng một miền phẳng có thể đuợc xem như được hợp thành bởi một tập hợp vô hạn các miền phẳng song song. Công trình của ông được lưu hành trong toàn thể giới khoa học châu Âu, và vào những năm cuối của thế kỉ này, có hai nhà toán học kết hợp nó với hình học giải tích để dựng lên một toà lâu đài toán với nền móng rất lung lay.

Một người là Isaac Newton [Niu-tơn] (1642 – 1722) mà các thành tựu của ông rất nổi tiếng trong vât lí. Khi còn nhỏ, ông không boôc lộ năng lực toán học rõ rệt, và thành tích học tập trong những năm đầu không có gì là xuất sắc cho lắm, tuy nhiên sau một thời gian ngắn nghỉ học ông đã đi học lại với môt niềm say mê mới. Ông là một sinh viên của trường Trinity College ở Cambridge vào tuổi 19, và sau đó 8 năm ông trở thành giáo sư Toán của đại học Cambridge. Trong thập niên 1666 và 1676, Newton phát triển “lí thuyết về chuyển đổi liên tục” (theory of fluxions) qua 3 luận văn. Mặc dù các luận văn này chỉ được công bố nhiều năm về sau nhưng chúng làm cơ sở cho một công trình sau đó của ông, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, một phát triển về vật lí theo lối tiên đề trong đó Newton đề ra lần đầu tiên một phát biểu có hệ thống hoàn chỉnh về mặt toán học các quy luật về chuyển động nổi tiếng của ông. Quyển Principia đã nhanh chóng giữ lấy vai trò một điều tiên quyết cần thiết cho tiến bộ khoa học và kĩ thuật tương lai, và nó đưọc xếp vào hàng rất ít các công trình toán học có ảnh hưởng sâu sắc trong lịch sử văn minh loài người.

Isaac Newton (1642-1727)

Tuy nhiên trong số những người đồng thời và những người kế tục, việc thừa nhận và tôn vinh ông cũng chưa thất thống nhất. Con người thiên tài này đã biết cái mà ông muốn, và chấp nhận để trực giác lấn lướt một ít các cẩn trọng logic, thừa nhận lí thuyết trước nhất vì nó được việc. Nhưng một số đồng nghiệp ông đã hoài nghi một cách chính đáng. Không có lời phê phán nào dí dỏm và sắc bén một cách cay chua như của George Berkeley, một Giám mục ở Clyone. Trong quyển The Analyst, xuất bản năm 1734, ông tranh luận rằng các nhà khoa học chỉ trích lòng tin vào các điều bí ẩn của tôn giáo cũng có cùng các nổi khó khăn trong chính lĩnh vực của mình: “Và chuyển đổi liên tục (fluxion) là cái gì? Các vận tốc của những gia tăng nhất thời (evanescent increments). Và những gia tăng nhất thời như nhau này là cái gì? Chúng không là những số lượng hữu hạn mà cũng chẳng phải là những số lượng nhỏ vô cùng hay chưa là gì cả. Chúng ta có thể gọi chúng là các bóng ma của những số lượng tách đi được chăng? Chắc chắn là… ai mà tiêu hoá một sự chuyển đổi thứ hai hay thứ ba… , theo tôi, không cần phải quá khe khắt về bất kì điểm nào khi bàn về chủ đề Thần thánh.

Đối thủ của Newton là Gottfried Wilhelm von Leibniz [Lai-niz] (1646 – 1716), một thiên tài nhiều mặt người Đức. Tài năng phi thường của ông bao gồm nhiều lĩnh vực luật, ngoại giao, tôn giáo, triết học, khoa học vật lí và toán học, trong đó ông đã độc lập phát triển toán vi tích phân một thời gian ngắn sau khi đối tác người Anh của ông đã làm điều tương tự. Tuy nhiên, sự việc này đã gây ra tranh luận sôi nổi trong nhiều năm, với lời qua tiếng lại cáo buộc nhau“đạo văn” từ hai phía eo biển Anh, lồng trong tinh thần yêu nước theo kiểu phe phái kéo dài trong nhiều thập kỉ. Không được biết đến nhiều nhưng ít ra cũng quan trọng không kém là công trình của ông về giải tích tổ hợp. Trong việc tìm kiếm một “đặc trưng phổ quát” thống nhất mọi tư tưỏng toán học, ông đã trở thành người sáng lập của logic kí hiệu, một ngành học chỉ được nghiên cứu sâu rộng sau đó hai thế kỉ.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)

Lịch sử Toán học – Phần 6

6. Thế kỉ 18

Toán vi tích phân giữ vị trí chi phối sự phát triển toán học trong thế kỉ 18. Việc khai phá lí thuyết mạnh mẽ mới này tiến hành theo hai hướng – mở rộng và áp dụng vào các phần khác của toán học và vật lí, và xem xét nền tảng logic của nó. Việc nghiên cứu trong thời kì này chủ yếu được tiến hành ở Royal Academies (các viện Hàn lâm Hoàng gia), bảo trợ bởi “các quyền lực sáng suốt” của thời đại, trong khi các trường đại học chỉ đóng một vai nhỏ trong việc sản sinh các tư tưỏng mới. Những viện hàn lâm hàng đầu ở Berlin, London, Paris và St Peterburg. Pháp chiếm phần vượt trội về tài năng toán học, nhưng Thuy Sĩ cũng có những đóng góp có ý nghĩa trong lĩnh vực này.

Một gia đình họ Bernoulli đã đào thoát nước Bỉ vào năm 1583 để tránh sự trù dập của tôn giáo, và cuối cùng đã định cư ở Thuỵ Sĩ. Con cháu gia đình này làm dấy lên một cuộc tranh lụận mạnh mẽ về việc di truyền khả năng trí tuệ; trong ba thế hệ họ đã tạo ra 8 nhà toán học xuất sắc trong đó có 4 người đạt danh tiếng quốc tế! Mở đầu và được biết nhiều nhất là hai anh em Jacob (1654 – 1705) và Johann (1667- 1748). Từ bỏ sự nghiệp thần học và y học do bị quyến rũ bởi công trình tiên phong của Leibniz về toán vi tích phân, Jacob và Johann Bernoulli đã bước vào một cuộc tranh đua ráo riết giữa hai ông với nhau và với chính Leibniz, điều này đã làm sản sinh ra phần lớn nguồn tài liệu có trong các bài giảng sơ cấp vê tính vi tích phân hiện nay, cũng như các kết quả trong lí thuyết phương trình vi phân thường. Phần lớn các công trình của hai ông tập trung vào các tính chất của một số đa dạng các đường cong đặc biệt, kể cả đuờng dạng dây xích, đường xoắn ốc logarit, và Johann Bernoulli thường đưọc xem như là cha đẻ của ngành toán về các biến đổi do ông nghiên cứu về đường brachistochrone (đường cong mà theo đó một chất điểm sẽ trượt từ một điểm này tới một điểm khác dưới ảnh hưởng của trọng lực trong thời gian nhỏ nhất có thể có, lực ma sát xem như không đáng kể). Ngoài đóng góp của ông cho toán vi tích phân, Jacob cũng đã làm được môt công trình nổi bậc về hình học và đã viết quyển sách đầu tiên dành cho lí thuyết xác suất. Hai người con của Johann cũng được nổi tiếng – Nicholaus (1695 – 1726) nhờ công trình về Hình học, và Daniel (1700 – 1782) nhờ các bài viết sâu sắc trong lĩnh vực thiên văn, vật lí toán và thuỷ động học.

Johann Bernoulli

Nhà toán học có nhiều thành quả nhất của thế kỉ này là Leonhard Euler, sinh năm 1707 ở Basel, Thuỵ sĩ. Ông là học trò của Johann Bernoulli, và cũng nghiên cứu về thần học, y học, các ngôn ngữ phương Đông, thiên văn, và vật lí. Năm 1727 ông là thành viên của viện Hàn lâm St Petersburg, rồi lãnh đạo viện Hàn lâm Berlin năm 1747, sau đó 20 năm lại trở về Petersburg và sống ở đó đến khi mất năm 1783. Ông là một nhà toán học hoạt động không mệt mỏi và ngay cả khi mắt ông bị mờ vào lúc 28 tuổi và mù hẳn ở tuổi 59, khả năng làm việc của ông cũng không suy giảm nhiều. Ông đã viết gần 900 quyển sách và luận văn quan trong trong các lĩnh vực giải tích, đại số, số học, cơ học, âm nhạc, và thiên văn. Euler là người đưa ra phần lớn kí hiệu hiện đang dùng trong đại số và giải tích hiện đại, và ông đã có công đưa lượng giác thành dạng như hiện nay; nhưng có lẽ thành tích nổi trội nhất của ông có được từ cố gắng xây dựng toán vi tích phân như là một lí thuyết giải tích không phụ thuộc vào hình học.

Leonhard Euler (1707-1783)

Phần sau của thế kỉ 18 là một thời kì xáo trộn về chính trị. Anh đang bị ít nhiều khó khăn trong việc ổn định thuộc địa còn rối ren của mình ở châu Mĩ, còn giai cấp quý tộc Pháp thì mất khả năng điều khiển nông dân. Biến động ở Pháp quyết liệt đến nổi không thể tin nổi là các nghiên cứu khoa học chẳng những vẫn tồn tại mà cón lớn mạnh suốt cả thời gian này. Thật vậy, toán học Pháp vẫn giữ vị trị vượt trội của mình. Các nhà toán học trong lục điạ châu Âu có lợi thế mạnh hơn các nhà toán học Anh ở chỗ toán vi tích phân của Leibniz thì dễ hiểu và dễ áp dụng hơn nhiều so với lí thuyết khó xài về sự chuyển đổi liên tục của Newton, và các thành tựu đạt được cho thấy rằng họ đã đưa nó vào sử dụng tốt.

Một đột phá quan trọng trong toán vi tích phân đã được Jean d’Alembert (1717 – 1783) thực hiện khi ông khử trừ được ”các bóng ma về các đại lượng dời chỗ” của Newton bằng cách đưa ra khái niệm giới hạn. Tuy nhiên các người cùng thời với ông không đánh giá được ý nghĩa của ý tưởng này và để nó ngủ yên trong nhiều năm.

Jean d’Alembert (1717 – 1783)

“Đỉnh kim tự tháp cao chót vót của khoa học toán” theo Napoleon Bonaparte là Joseph Louis Lagrange [La-grăng] (1736 – 1813), một nhà toán học lỗi lạc nhưng khiêm tốn được Napoléon và hai vuơng triều nước ngoài tôn vinh, và sự nghiệp của ông đã tiến lên không cùng nhờ sự ủng hộ hết mình của Euler. Lagrange cải tiến và sắp xếp lại phần lớn nội dung toán vi tích phân của Euler và nghiên cứu sâu rộng lí thuyết phương trình, lí thuyết số và cơ học. Ông cũng là người chịu trách nhiệm mở ra chương trình toán cấp tốc ở hai trường mới thành lập của Pháp là École Normale (trường Sư phạm) và École Polytechnique (trường Bách khoa).

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

Pierre Simon Laplace [La-pla-xơ] (1749 – 1827) là nhà toán học ứng dụng xuất sắc của thế kỉ này. Ông sinh ra trong một gia đình nông dân, nhờ tài năng toán học hiếm có của mình ông đã cải thiện bậc thang xã hội của mình và cuối cùng được Napoléon phong chức Bá tước. Công trình nổi tiếng nhất của ông là Théorie analytique des probabilités (Lí thuyết giải tích về xác xuất) và bộ sách vĩ đại gồm 5 quyển Mécanique céleste (Cơ học thiên thể), trong đó ông đã duyệt lại, hợp nhất và mở rộng một cách công phu tất cả các công trình trước đó trong lĩnh vực xác suất và cơ học thiên thể. Mặc dù ông có khuynh hướng đáng phiền khi mượn ý mà không nói rõ, nói chung Laplace vẫn được mọi người thừa nhận là một nhà khoa học sáng tạo nổi bậc. Tầm cở các công trình của ông đi ngược với tính cô đọng của chúng; như lời của một trong những dịch giả “Tôi chưa bao giờ nắm bắt ngay được một trong những cái ‘Vậy đơn giản là’ của Laplace mà không phải trải qua hàng giờ cật lực làm việc để lấp đầy chỗ trống và để tìm và chứng minh làm thế nào mà lại ‘đơn giản là’’.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

Cũng phải nói thêm ngắn gọn về Adrien-Mair Legendre và Gaspard Monge. Cả hai đều đạt tới đỉnh cao trong sự nghiệp khoa học của mình vào những năm cuối thế kỉ này, nhưng công trình của họ lại khác biệt nhau một cách cơ bản. Mặc dù chủ trì bài viết về tổ chức lại toàn bộ hình học Euclid, phần chính công trình của Legendre lại là giải tích và toán ứng dụng, một lĩnh vực thống trị vào lúc đó. Trái lại, Monge là một nhà hình học mực thước, một trong những chuyên gia đầu tiên về toán học hiện đại. Ông được biết nhiều nhất qua việc phát triển môn Hình học hoạ hình (descriptive geometry), và các ý tưởng hình học thâm nhập khắp các công trình của ông. Điều này ghi dấu ông như là một sứ giả cho thời kì kế tiếp.

Chú thích

[5] Định lí cuối cùng của Fermat (Fermat’s last theorem) đã được chứng minh bởi Andrew Wiles vào năm 1995. 

Lịch sử Toán học – Phần 7

7. Thế kỉ 19

Thời đại mới bắt đầu với Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), “vị hoàng tử của toán học”. Giống như Archimedes đã ảnh hưởng sâu đậm nền khoa học của thời đại tiền Hi Lạp và Newton khống chế thời kì hậu Elizabeth, Gauss thống trị nền toán học thế kỉ 19. Ông vốn là một thần đồng toán học, có thể làm tính số học lúc mới lên 3, và quen thuộc với các chuổi vô hạn khi được khoảng 10 tuổi. Lí thuyết số (theory of numbers) hiện đại bắt nguồn từ công trình đồ sộ của ông tên Disquisitiones Arithmeticae, công bố năm 1801. Với quyển sách về Cơ học thiên thể (celestial mechanics), Gauss được nhận như nhà toán học đứng đầu của châu Âu. Công trình của ông ngắn gọn và rõ ràng, và đặc trưng bằng việc chứng minh chặt chẽ. Mặc dù các cột mốc trong hầu hết các ngành toán học đều mang tên ông, Gauss bộc lộ xu hướng cá nhân mạnh mẽ về một ngành khi nói rằng “toán học là nữ hoàng của khoa học, và lí thuyết số lại là nữ hoàng của toán học”.

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

Cùng với việc mở đầu thế kỉ mới, sáng tạo toán học bắt đầu gia tăng tột bậc, đến năm 1990 đã cho ra số công trình nhiều gấp khoảng năm lần số công trình hoàn thành trong tất cả các giai đoạn trước đó. Với sự phong phú cao độ về nguồn tài liệu, toán học đã trở nên một bộ môn rộng lớn đến nổi mỗi đầu óc riêng lẻ không còn đủ sức để thông hiểu hết tất cả mọi ngành được nữa. Ngoại trừ một ít người có trình độ thông minh tuyệt đỉnh như Gauss, Riemann, Klein, và Poincaré, các nhà toán học nói chung bị buộc phải tư giới hạn các cố gắng của họ vào một ngành chính nào đó như đại số, hình học, hay giải tích. Diện mạo toán học cũng có nhiều thay đổi khác xảy ra. Ưu thế của các viện hàn lâm khoa học được hoàng gia bào trợ giảm sút nhanh chóng, và việc nghiên cứu trở nên một chức năng quan trọng của các trường đại học. Trong nội bộ toán học, các nhà toán học ngày càng trở nên tự phê phán hơn. Việc đòi hỏi một sự chặt chẽ mới trong tất cả các chứng minh và việc không tin cậy vào trực giác của họ làm nẩy sinh ngành logic tượng trưng và tiên đề hoá.

Từ đây trở đi, một sự liệt kê tuần tự chặt chẽ theo thời gian các tiểu sử không còn đủ sức phát hoạ được sự tiến bộ của toán học, vi thế sẽ đuợc thay bằng một loạt các tường thuật, mỗi tường thuật đi theo một chủ đề nhỏ giống như một trong những tường thuật phía trên. Sẽ có những trùng lặp không tránh khỏi về tên tuổi, thời gian và ý tưởng, nhưng toàn cảnh của bức tranh tổng thể sẽ được cố gắng hết mức để giữ cho nguyên vẹn.

Trong khi khoa vật lí và kĩ thuật tiếp tục thu lượm những phần thưởng từ toán vi tích phân, bản thân toán học cũng bắt đầu hưởng lấy những lợi ích từ tinh thần cách mạng đang lan tràn trong thế giới phương Tây. Ở Pháp, sự đổ nhào của chế độ quân chủ và thời kì Napoléon kế đó đã tạo ra một môi trường lí tưởng cho việc cấy trồng những tư tưởng mới. Trong bầu không khí này, Évariste Galois, một thanh niên thông minh và có tính khí khác thường, từng bị đuổi học và vào tù, đã được sinh ra. Mặc dù có các xáo trộn giáo dục và chính trị thường xuyên, Galois đã dành phần lớn thời giờ của mình cho đại số – môn học vào lúc đó chỉ gần như là số học khái quát hoá, nhưng các bài viết của ông không được chú ý. Năm 1832, trước sinh nhật thứ 21 không lâu, Galois đã bị giết chết khi dính vào một trận thách đấu. Đêm trước “sự việc vì danh dự” đó, ông đã thảo nhanh một bức thư gửi bạn, trong đó có ghi “Tôi đã hoàn tất một vài khám phá mới trong giải tích…. Tôi hi vọng, sau này sẽ có người tìm thấy nó để trình bài lại sáng sủa tất cả mớ hỗn độn này cho lợi ích của mình.” “Cái mớ hỗn độn này” chính là lí thuyết nhóm, nền móng của giải tích và hình học hiện đại. Niels Henrik Abel, một nhà toán học Na Uy cùng thời và cũng mất trước tuổi 30, cũng đã độc lập làm ra công trình theo hướng này.

Evariste Galois (1811-1832)

Niels Henrik Abel (1802 – 1829)

Việc giải phóng đại số khỏi sự phụ phuộc vào số học đã đưa môn học này tiến một buớc nhảy vọt với sự khám phá ra quaternion bởi William Rowan Hamilton (1805 – 1865) – một nhà toán học và thiên văn Ireland [Ai-lan] (Ái nhĩ lan). Hamilton là một thần đồng, vào tuổi 12 đã sử dụng được 12 ngôn ngữ. Ông dùng phần lớn thời gian đầu trong sự nghiệp khoa học của mình để ứng dụng toán học vào các lí thuyết vật lí, đặc biệt là quang học và cơ học. Năm 1835 ông chuyển sự chú ý của mình vào đại số, và 8 năm sau đó khám phá ra quaternion. Nói một cách thô thiển, hệ các quaternion là một khái quát quá của hệ số phức và phép nhân các quaternion là một ví dụ đầu tiên đáng giá về một phép toán không giao hoán. Chẳng bao lâu các lớp tổng quát các đại số đã ra đời từ công trình nặng về hình học của Hermann Grassmann, và môn học này đã bước hẵn trên con đuờng đi vào trừu tượng. Nước Anh là trung tâm của thứ đại số thế kỉ 19 này với những ứng dụng hình học của nó, những ứng dụng này nở rộ theo sự dẫn dắt tích cực của Arthur Cayley (1821 – 1895), cha đẻ của lí thuyết ma trận, và James Joseph Sylvester (1814 – 1897),động lực chính trong sự phát triển ban đầu của nền toán học châu Mĩ. Hai trong số những tên tuổi nổi bậc của lí thuyết nhóm là Felix Klein (1849 – 1925) và Marius Sophus Lie (1842 – 1899). Klein là một nhà hình học nghiên cứu các nhóm rời rạc (discrete groups), còn Lie làm việc với các nhóm liên tục (continuous groups).

Arthur Cayley (1821 – 1895)

James Joseph Sylvester (1814 – 1897)

Marius Sophus Lie (1842 – 1899)

Với sự xuất hiện của Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) và những nhà toán học cùng thời của ông, các nhà giải tích nói chung trở nên ý thức hơn về sự cần thiết của chứng minh với lập luận chặt chẽ. Cauchy đã đưa ra một đĩnh nghĩa sử dụng được cho khái niệm giới hạn và tiến hành xây dựng nền tảng vững chắc cho toán vi tích phân. Ông cũng đã phát triển lí thuyết hàm với biến phức gần như cùng lúc khi Gauss công bố số học phức của mình. Bernhard Riemann (1826 – 1866) của Đức cũng đi tiên phong trong lí thuyết số phức; phần lớn công trình của ông cũng có ý nghĩa hình học rõ nét. Đóng góp đơn lẻ quan trọng nhất của Gauss, Abel, Cauchy, Riemann và các nhà toán học khác đầu thế kỉ 19 là sự chú tâm tỉ mỉ của các ông tới việc chứng minh chặt chẽ. Công trình của các ông đã mở đường cho Karl Weierstrass (1815 -1897) – một nhà toán học nổi tiếng về lập luận tỉ mỉ và thận trọng. Ông làm sáng tỏ khái niệm về hàm số, đạo hàm, và loại bỏ được tất cả những mù mờ còn lại trong toán vi tích phân. “Với Weierstrass việc thu gọn các nguyên lí của giải tích về các ý niệm số học đơn giản nhất đã bắt đầu và chúng ta gọi việc này là số học hoá toán học.”

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857)

Karl Weierstrass (1815 -1897)

Tiêu biểu cho cách tiếp cận này là Leopold Kronecker (1823 – 1891), ông khẳng định “Mọi kết quả của một nghiên cứu toán học sâu xa nhất rốt cuộc phải được diễn tả được duới dạng đơn giản về tính chất của số nguyên.” Ông là một nhà lí thuyết số, nhưng ông được biết đến nhiều nhất qua cuộc tranh luận kéo dài với Weierstrass, người có các lí thuyết dựa trên ý niệm về các dãy vô hạn. Kronecker, trái lại, không chấp nhận sự tồn tại toán học của bất cứ cái gì không thực sự xây dựng được qua một số hữu hạn các bước. Đối nghịch hoàn toàn với quan điểm này là Richard Dedekind (1831 – 1916) và Georg Cantor (1845 – 1918). Dedekind phát triển một cách chặt chẽ ý niệm về số vô tỉ, từ đó cho phép hệ số thực trở thành cơ sở của mọi thứ giải tích. Cantor trong quyển Mengenlehre (Lí thuyết tập hợp), đặt khái niệm số trên cơ sở khái niệm tập hợp, và tiến hành phát triển các loại vô hạn khác nhau, hay các số siêu hạn (transfinite numbers), các số này có các tính chất gần như các số nguyên trong số học sơ cấp. Theo Kronecker, điều này là một trò đùa nguy hiểm của toán học, và ông công kích cả lí thuyết lẫn tác giả hết sức mạnh bạo đến nổi Cantor bị một loạt suy sụp tinh thần và cuối cùng chết trong một bệnh viện tâm thần. Tuy nhiên lí thuyết tập hợp vẫn là một phần nổi bậc nhưng hay gây ra tranh cải trong tư tưởng toán học.

HiGeorg Cantor (1845-1918)

Richard Dedekind (1831 – 1916)

Cuộc cách mạng trong hình học được báo trước rất sớm vào năm 1733 bởi công trình của Girolamo Saccheri. Kể từ khi Euclid đưa ra bộ Elements, lúc nào định đề thứ 5 (thường được gọi là “Định đề Song Song”) cũng bị đặt dấu hỏi bởi những nhà toán học nghĩ rằng nó có thể chứng minh được từ 4 định đề khác. Saccheri biết tất cả những cố gắng trước đây để thực hiện điều này đều thất bại nên ông đề ra một cách tiếp cận vấn đề khác biệt một cách cơ bản. Ông thay “định đề có vấn đề” bằng phủ định của nó với hi vọng sẽ đi đến hai mệnh đề mâu thuẫn nhau trong hệ mới này. Nếu ông làm được việc này thì điều đó có nghĩa là định đề thứ 5 nguyên thuỷ là hệ quả tất yếu của các định đề kia, nhưng hệ thống mới lại không nẩy sinh ra mâu thuẫn nào cả. Quá thất vọng, ông đã đi quay nguợc trở lại trong khi chỉ cần tiến thêm một bước nữa ông sẽ làm nên khám phá của thế kỉ, và công trình của ông chẳng bao lâu đi vào quên lãng.

Đầu thế kỉ 19, có ba nhà toán học thuộc ba nước khác nhau đã sử dụng cách tiếp cận của Saccheri nhưng các ông đã có tầm nhìn sâu sắc hơn để hiểu được ý nghĩa “sự thất bại” của mình và cũng có can đảm công bố các điều tìm được. Nicolai Lobachevsky năm 1829, János Bolyai năm 1832, và Bernhard Riemann năm 1854 đều đã công bố hệ hình học phi-Euclid nhất quán một cách độc lập lẫn nhau. Gauss cũng có một vài ý tưởng tương tự như thế vài thập niên trước nhưng giữ lại không công bố vì sợ bị chỉ trích. Các ý tưởng này xung đối với triết lí của Kant đang thịnh hành coi khái niệm không gian là không gian Euclid một cách tiên nghiệm, và do đó các ý tưởng mới đó vẫn còn khuất trong bóng tối nhiều thập niên. Nhưng cánh cổng chặn dòng lũ logic đã được mở ra. Các định đề không còn là các mệnh đề hiển nhiên đúng theo trực giác nữa mà chúng chỉ đơn giản là các giả định mà việc lựa chọn chúng là hoàn toàn tuỳ ý, không chịu điều kiện ràng buộc nào trước cả. Điều này đã mở đầu cho phương pháp tiên đề hình thức.

János Bolyai (1802-1860)

Bernhard Riemann (1826-1866)

Từ đây hình học không còn giới hạn ở các hình ảnh thấy được nữa, nó đã phát triển với một tốc độ diệu kì. Quyển Ausdehnungslehre (Lí thuyết các mở rộng) của Grassmann đem cho thế giới môn hình học mở rộng hoàn toàn n-chiều cho các không gian metric. Với công trình này ông đuợc xem như là một trong những nhà sáng lập môn giải tích vector (cùng với Hamilton). Jacob Steiner (1796 – 1863), một nhà hình học tổng hợp thuần tuý không thích đại số và giải tích, đã phát triển phần lớn môn hình học xạ ảnh (chiếu). Felix Klein trái lại hợp nhất các thứ hình học bằng đại số hiện đại với phát biểu trong quyển “Erlanger Program” rằng mỗi thứ hình học đều là một ngành nghiên cứu về các bất biến của một tập hợp đối với một phép biến hình nào đó. Lí thuyết này được Cayley và Lie mở rộng thêm rất nhiều.

Hermann Grassmann (1809-1877)

Felix Klein (1849-1925)

Henri Poincaré (1854 – 1912), nhà toán học đa năng vĩ đại cuối cùng đã để lại dấu ấn sâu đậm cho xu hướng hợp nhất toán học. Trí nhớ và năng lực am hiểu logic hầu như siêu phàm của ông đã cho phép ông có những đóng góp có giá trị cho số học, đại số, hình học, giải tích, thiên văn và vật lí toán. Ngoài ra ông còn viết sách phổ biến toán học và tích cực quan tâm tới tâm lí sáng tạo. Ông có tầm ảnh hưởng sâu đậm đến sự phát trỉển của môn tôpô (vị tướng học), một ngành toán học tương đối mới mà trước đây thường được gọi là analysis situs (giải tích vị trí) và đôi khi được nói tới như là “hình học của các tấm cao su.”

Henri Poincaré (1854 – 1912)

Cách xử lí hình thức hoá môn đại số ở Anh và cách tiếp cận tiên đề trừu tượng ở lục địa châu Âu đã khơi ngòi cho một sự chú tâm đột ngột vào logic và nền tảng toán học, mối quan tâm này lại được nhân đôi sau khi có sự xuất hiện của lí thuyết dễ gây tranh cãi về tập hợp của Cantor. Nghiên cứu có ý nghĩa toán học đầu tiên về logic là các quyển The Mathematical Analysis of Logic (1847) và The laws of Thoughts (1854) của George Boole [Bul] (1815 – 1864). Trong hai công trình này ông đã thể hiện một cách tiếp cận logic hoàn toàn tượng trưng và đã đặt nền móng cho các mở rộng tương lai của lĩnh vực này. Năm 1884, Gottlob Frege (1848 – 1925) xuất bản quyển Die Grundlagen der Arithmetik (Nền tảng của Số học) đưa ra một dẫn xuất của các khái niệm toán học từ logic hình thức và do đó đã kích thích mạnh mẽ các cố gắng hợp nhất logic và toán học.